Algèbre [T5CC021M]

Algèbre [T5CC021M]

En pratique

Nature
Elément constitutif
Volume horaire de TD
30
Volume horaire de CM
20
Volume horaire de travail personnel
34
Langue d'enseignement
Français

Description du contenu de l'enseignement

Cours d'algèbre linéaire et bilinéaire premier cycle universitaire.

Undergraduate linear and bilinear algebra course.

Organisation

Modalités d'organisation et de suivi

1. Ensembles structurés
        rappels sur le calcul matriciel (vocabulaire, propriétés du produit matriciel, problème de l'inversion de matrices)
        étude de quelques structures algébriques : groupe, anneau, corps
        formalisme de la théorie des ensemble manipulation de prédicats, quantificateurs, écriture en compréhension , ...
2.L'espace vectoriel R^n
        connaître les notions de vecteurs, combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels
        étudier la nature des familles de vecteurs (libres/liées/génératrices)
        construire des bases d'espaces et sous-espaces vectoriel de R^n
        maîtriser méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, pour étudier la nature d'une famille de vecteurs
3. Applications linéaires
        représenter une application linéaire par une matrice,
        étudier le noyau et l'image, utiliser le théorème du rang,
        connaître les notions de déterminant, de valeur/vecteur propre, changements de base,
        savoir diagonaliser et inverser une matrice,
        prolongement possible : trigonalisation des matrices
4. Espaces vectoriels de dimension finie
        savoir reconnaître la structure d'espace vectoriel sur des ensembles d'applications, de matrices,
        savoir calculer la dimension n d'un espace vectoriel et identifier à l'espace R^n correspondant (théorème de la dimension)
        étudier des applications linéaires sur des ensembles différents de R^n (par exemple la dérivation des applications de R dans R)
5. Algèbre bilinéaire
        manipuler les formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques, produit scalaire, normes
        utiliser la notion d'orthogonalité en algèbre linéaire : construire des bases orthonormées par le procédé de Gram-Schmidt, théorème spectral
        prolongements possibles : adjoint, applications unitaires, dualité

 

1. Structured sets
        matrix calculation (vocabulary, properties of the matrix product, problem of matrix inversion)
        study of some algebraic structures: group, ring, field
        formalism of set theory manipulation of predicates, quantifiers, writing in comprehension, ...
2.The vector space R^n
        know the concepts of vectors, linear combinations, vector subspaces
        study the nature of vector families (independence  / generating set)
        construct basis of  vector spans subsets of R^n
        master Gauss's method to solve systems of linear equations, to study the nature of a family of vectors
3. Linear applications
        represent a linear map by a matrix,
        study the kernel and the image, use the rank theorem,
        know the concepts of determinant, eigenvalue / eigenvector, basis changes,
        know how to diagonalize and invert a matrix,
        possible extension: trigonalization of matrices
4. Finite dimensional vector spaces
        know how to recognize the structure of vector spans on sets of applications, matrices,
        know how to compute the dimension n of a vector space and identify with the corresponding space R^n (dimension theorem)
        study linear maps on different sets of R^n (e.g. the derivation of maps from R to R)
5. Bilinear algebra
        manipulate symmetric bilinear forms, quadratic forms, dot product, norms
        use the notion of orthogonality in linear algebra: construct orthonormal basis by the Gram-Schmidt method, spectral theorem
        possible extensions: adjoint, unitary applications, duality

 

 

Informations pédagogiques

Compétences à acquérir

  • maîtriser les outils de l'algèbre linéaire qui forment les fondements théoriques de toutes les activités de l’ingénieur
  • progresser dans la rigueur des raisonnements, la clarté de la rédaction, la pratique du calcul algébrique

 

  • Master the basics principles of linear algebra which form the theoretical foundations of all the activities of the engineer.
  • Make progress in the rigor of reasoning, clarity of writing, the practice of algebraic calculus.

Pré-requis recommandés

Cours de mathématiques de terminale filière scientifique

Bibliographie, lectures recommandées

  • Algèbre et analyse cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés Stéphane Balac, Frédéric Sturm
  • Analyse et algèbre cours de mathématiques de deuxième année avec exercices corrigés et illustrations avec Maple Stéphane Balac, Laurent Chupin
  • Exercices d'algèbre et d'analyse 154 exercices corrigés de première année Stéphane Balac et Frédéric Sturm
Dernière modification : mer, 06/01/2021 - 10:48