Analyse de Fourier [T6PS211M]

Analyse de Fourier [T6PS211M]

En pratique

Nature
Elément constitutif
Volume horaire de TD
24
Volume horaire de CM
18
Langue d'enseignement
Français

Description du contenu de l'enseignement

  • Initiation à l'intégrale de Lebesgue
    • Reconnaître une fonction intégrable au sens de Lebesgue, différence avec une intégrale impropre convergente au sens de Riemann
    • Appliquer les  théorème de convergence dominée et de convergence monotone
    • Appliquer les théorèmes de continuité et de dérivation sous le signe "somme"
    • Appliquer les théorèmes de Fubini et du changement de variables pour les intégrales multiples
  •  Convolution
    • Vérifier des critères d'existence d'une convolution ; permanence des propriétés (intégrabilité, régularité...) lors d'une convolution par une fonction de L1 ; convolution L1*Loo et stabilité BIBO, convolution L1*L1, convolution L1*L2, convolution L2*L2, convolution des fonctions causales localement intégrables ; dérivée d'un produit de convolution
    • Calculer explicitement des convolutions de fonctions simples, en utilisant les propriétés de commutativité/associativité, et la dérivation
    • Notion de filtre, de réponse impulsionnelle
  • Transformation de Fourier (TF)
    • Faire des calculs de transformées de Fourier dans L1, appliquer les formules de modulation/translation, dérivation/produit, changement d'échelle, TF d'une convolution
    • Utiliser la formule d'inversion
    • Comprendre le sens physique de la TF (décomposition fréquentielle d'un signal), comprendre la relation d'incertitude,
    • Utiliser la transformation de Fourier dans L2 , appliquer la formule de Parseval-Plancherel,
  • Fonctions orthogonales
    • Calculer dans  un espace préhilbertien complexe : projection orthogonale, approximation en moyenne quadratique, développement en série de fonctions orthogonales ; appliquer l'inégalité de Bessel ; suite totales, égalité de Parseval
    • Polynômes orthogonaux : Polynômes de Legendre, de Chebychev, de Hermite , de Laguerre
    • Construction de suites orthonormées (Gram-Schmidt), calcul et tracé d'approximations avec le logiciel de calcul formel Sage
  • Séries de Fourier
    • Appliquer le théorème de Dirichlet  pour des séries de Fourier de fonctions C1 par morceaux
    • Appliquer la formule de Parseval  pour des fonctions périodiques de puissance moyenne finie
  • Espace des distributions D'(R)
    • Comprendre la définition d'une distribution :  principe de dualité, fonction test , linéarité, continuité, distributions régulières et non-régulières
    • Etendre les opérations des fonctions au distributions  : multiplication par une fonction, translation, symétrisation, changement d'échelle
    • Extension des distributions d'ordre au plus //p// aux fonctions de classe Cp à support borné, extension de certaines opérations
    • Dériver des distributions, appliquer la formule des sauts
    • Exemples importants : distribution de Dirac, peigne de Dirac, VP1/x
  • Transformation de Fourier des distributions tempérées
    • Espace de Schwartz et son dual S'(R)
    • Propriétés de la transformation de Fourier dans S'(R)
    • Calculs  de TF usuelles :   Dirac, VP1/x,  fonction de Heaviside, peigne de Dirac
    • Initiation à la convolution des distributions
    • Formule de Poisson, théorème de Shannon-Nyquist, séries de Fourier des distributions périodiques
    • Prolongements possibles : transformation de Hilbert, théorème de Payley-Wiener

 

Organisation

Modalités d'organisation et de suivi

  • Intégration,
  • convolution des fonctions,
  • transformation de Fourier des fonctions,
  • analyse hilbertienne (développement en série de fonctionsorthogonales),
  • séries de Fourier,
  • initiation aux distributions,
  • transformée de Fourer des distributions tempérées.

Informations pédagogiques

Compétences à acquérir

Apprendre à utiliser les outil de l'analyse de Fourier (analyse harmonique), qui sont presque universels, en particulier pour l'optique physique, l'optique guidée, l'optique de Fourier, le traitement du signal, ainsi que pour la résolution de certaines équations aux dérivées partielles.

Pré-requis recommandés

Bases d'algèbre linéaire et d'analyse [T5PT501U]

Bibliographie, lectures recommandées

Analyse de Fourier : Théorie et applications pour l'ingénieur et le physicien - Cours et exercices corrigés Broché – 19 juin 2012 - Patrice Struillou (ISBN-13: 978-2729872540)

Dernière modification : mar, 05/01/2021 - 12:12