Analyse harmonique [T6ES221M]

Analyse harmonique [T6ES221M]

En pratique

Nature
Elément constitutif
Volume horaire de TD
24
Volume horaire de CM
18
Volume horaire de travail personnel
28
Langue d'enseignement
Français

Description du contenu de l'enseignement

Outils de l'analyse de Fourier et de la théorie des distributions.

Tools of Fourier analysis and distribution theory.

Organisation

Modalités d'organisation et de suivi

1  Intégrale de Lebesgue
        reconnaître une fonction intégrable au sens de Lebesgue, différence avec une intégrale impropre convergente au sens de Riemann
        appliquer les théorème de convergence dominée et de convergence monotone
        appliquer les théorèmes de continuité et dérivation sous le signe ""somme""

2  convolution
        appliquer des critères d'existence d'une convolution (stabilité L1, BIBO, fonctions causales localement intégrables)
        calculer explicitement des convolutions de fonctions simples, en utilisant les propriétés de commutativité/associativité, et la dérivation
        comprendre les applications concrètes des effets régularisant de la convolution : filtrage de signaux pour l'élimination du bruit, la détection des contours (traitement d'images)

3 Transformation de Fourier (TF)
        faire des calculs de transformées de Fourier dans L1, appliquer les formules de modulation/translation, dérivation/produit, changement d'échelle, TF d'une convolution
        utiliser la transformation de Fourier dans L2 , appliquer la formule de Plancherel, la formule d'inversion,
        prolongement possibles : recalage de signaux par corrélation croisée, reconstruction d'images par filtrage de Wiener, déconvolution par l'algorithme de Richardson-Lucy,

4 Séries de Fourier
        Appliquer le théorème de Dirichlet pour des séries de Fourier de fonctions C1 par morceaux
        Appliquer les formules de Plancherel/Parseval pour des fonctions L2
        prolongements possibles : compression de signaux (JPEG), formule de Shannon
5     espace des distributions D'(R)
        comprendre la définition d'une distribution : principe de dualité, fonction test , linéarité, continuité, distributions régulières et non-régulières
        étendre les outils des fonctions au distribution : domaine, parité, multiplication, translation, changement d'échelle
        dériver des distributions, appliquer la formule des sauts
        connaître les exemples importants : distribution de Dirac, peigne de Dirac, VP1/x

6 Transformation de Fourier des distributions tempérées
        connaître l'espace de Schwartz et son dual S'(R)
        Calculer les TF usuelles : Dirac, VP1/x, fonction de Heaviside, peigne de Dirac
        prolongements possibles : théorème de Payley-Wiener, formule de Shannon, convolution des distributions , Transformation de Hilbert

 

1 Lebesgue integral
        recognize an integrable function in the sense of Lebesgue, difference with a convergent improper integral in the sense of Riemann
        apply the dominated convergence and monotonic convergence theorems
        apply the continuity and derivation theorems under the sum/integral  signs

2 convolution
        apply criteria for the existence of a convolution (L1 stability, BIBO, locally integrable causal functions)
        explicitly compute convolutions of simple functions, using the properties of commutativity / associativity and derivation
        understand the concrete applications of the regularizing effects of convolution: filtering of signals for noise elimination, edge detection (image processing)

3 Fourier transformation (TF)
        do Fourier transform computations in L1, apply the modulation / translation, derivative / product, scale change, TF formulas of a convolution
        use the Fourier transformation in L2, apply the Plancherel formula, the inversion formula,
        possible extensions: signal registration by cross correlation, image reconstruction by Wiener filtering, deconvolution by the Richardson-Lucy algorithm,

4 Fourier series
        Apply Dirichlet's theorem for piecewise Fourier series of functions C1
        Apply Plancherel / Parseval formulas for L2 functions
        possible extensions: signal compression (JPEG), Shannon formula
5 the set of distributions D '(R)
         understand the definition of a distribution: duality principle, test function, linearity, continuity, regular and non-regular distributions
         extend the tools for functions to distribution: domain, parity, multiplication, translation, change of scale
         derive distributions, "jumps formula"
         know the important examples: Dirac distribution, Dirac comb, VP1 / x

6 Fourier transformation of temperate distributions
         know the Schwartz space and its dual S '(R)
         Calculate the usual TFs: Dirac, VP1 / x, Heaviside function, Dirac comb
         possible extensions: Payley-Wiener theorem, Shannon formula, convolution of distributions, Hilbert transformation

Informations pédagogiques

Compétences à acquérir

  • Utiliser les principaux outils mathématiques pour le traitement du signal,
  • puis étendre ces techniques à des signaux plus généraux représentés par des distributions

 

  • Using the main mathematical tools for signal processing,
  • then extend these techniques to more general signals represented by distributions

Bibliographie, lectures recommandées

Analyse de Fourier : Théorie et applications pour l'ingénieur et le physicien - Cours et exercices corrigés Broché – 19 juin 2012 de Patrice Struillou (ISBN-13: 978-2729872540)

Dernière modification : mer, 06/01/2021 - 10:23