Analyse [T5CC031M]

Analyse [T5CC031M]

En pratique

Nature
Elément constitutif
Volume horaire de TD
30
Volume horaire de CM
20
Volume horaire de travail personnel
34
Langue d'enseignement
Français

Description du contenu de l'enseignement

  1. Des formules de Taylor aux Développements Limités (DL) et Développements Asymptotiques (DA)
  2. Intégrales impropres
  3. Séries numériques et séries entières
  4. Equations différentielles linéaires
  5. Intégrales multiples

Organisation

Modalités d'organisation et de suivi

  1. Des formules de Taylor aux Développements Limités (DL) et Développements Asymptotiques (DA) :
    1. Relations de comparaisons entre deux fonctions au voisinage d'un point
    2. Théorèmes fondamentaux de l'analyse : Théorème de Rolle, Théorème des accroissements finis et corollaires
    3. Formule de Taylor avec reste intégral, Formule de Tayor-Young
    4. DL des fonctions usuelles au voisinage de 0
    5. Obtention de DL au voisinage d'un point fini ou de l'infini par changement de variables
    6. Addition, multiplication,  division, composition, intégration de DL ( de fractions rationnelles, exponentielle/logarithme , fonction trigonométriques/hyperboliques, etc.)
    7. Définition d'un développement asymptotique d'une fonction au voisinage d'un point et exemple de calcul à partir d'un DL
    8. Faire l'étude locale d'une fonction à partir de son DL (limite, tangente, position de la courbe par rapport à la tangente)
  2. Intégrales impropres
    1. Définition et étude de la divergence/convergence absolue d'intégrales impropres sur un intervalle fini ou infini
    2. Critère de Riemann en un point ou à l'infini
    3. Calcul de la valeur exacte d'une intégrale impropre par calcul de primitives
    4. Etudier le domaine de définition d'une fonction définie par une intégrale impropre dépendant d'un paramètre
  3. Séries numériques et séries entières
    1. Rappels sur  la convergence des suites (dont les suites récurrentes)
    2. Définition et étude de la divergence/convergence absolue d'une série par différentes méthodes :  calcul de la somme partielle, critères de comparaison pour les séries à termes positifs, critère de Riemann, critère de D'Alembert pour les séries numériques,  comparaison série/intégrale, critères des séries alternées, utilisation de développements asymptotiques
    3. Définition et méthodes de calcul du rayon de convergence d'une série entière
    4. Propriétés de régularité de la somme d'une série entière,  séries entières dérivées
    5. Définition d'une fonction développable en série entière (DSE) : CNS, série de Taylor, combinaison de DSE, application au calcul de la valeur de séries
  4. Equations différentielles linéaires
    1. Introduction du vocabulaire des équations différentielles : équations linéaires/non-linéaires, coefficients constants, équation homogène, ordre d'une équation, etc.
    2. Résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 : recherche des solutions homogènes, recherche d'une solution particulière (variation de la constante), racoordement de solutions
    3. Résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre n>1 : équation caractéristique, recherche des solutions homogènes, recherche d'une solution particulière ( dans le cas d'un second membre de type polynôme*exponentielle)
    4. Pour le public  en INFO1 & SNUM 1 : résolution de systèmes différentiels linéaires d'ordre 1 en dimension finie
  5. Intégrales multiples
    1. Définition d'une intégrale multiple d'une fonction continue sur le domaine d'intégration.
    2. Calcul d'une intégrale multiple simple à l'aide du théorème de Fubini-Tonelli
    3. Théorème de changement de variables à l'aide d'un difféomorphisme
    4. Manipulation des changements simples ou usuels : changement de variables linéaire, passage en coordonnées polaires, cylindriques et sphériques.

Informations pédagogiques

Compétences à acquérir

Maîtriser les bases de l'analyse et les outils de calcul indispensables à l'ingénieur (fonctions, séries, intégrales , etc.)

Pré-requis recommandés

  • Cours de mathématiques de Terminale S
  • maîtrise des notions traités dans le module [T5CC011M]

Bibliographie, lectures recommandées

  • [S. Balac, F. Sturm] Algèbre et analyse, cours et exercices corrigés de première année, Presses polytechniques et universitaires romandes
  • [S. Balac, F. Sturm] Exercices d'algèbre et d'analyse, 154 exercices corrigés de première année, Presses polytechniques et universitaires romandes
  • [S. Balac et L. Chupin] Analyse et algèbre. cours de mathematiques de 2e annee avec exercices corriges  et illustration avec Maple
Dernière modification : ven, 08/01/2021 - 17:25