Calcul intégral et différentiel [T5PT021M]

Calcul intégral et différentiel [T5PT021M]

En pratique

Nature
Elément constitutif
Volume horaire de TD
32
Volume horaire de CM
34
Volume horaire de travail personnel
44
Langue d'enseignement
Français

Description du contenu de l'enseignement

Pour les étudiants sur titre (recrutement hors concours des grandes écoles) une partie de remise à niveau mathématique est proposée (22h CM et 32h TD) portant sur les outils d'analyse (développement limités, convergence des séries/intégrales, équations différentielles, fonction à plusieurs variables , intégrales curviligne et multiples)  avec application aux opérateurs différentielles usuelles de l'optique linéaire.

For students not comming from  CPGE, a mathematical complement is proposed (22h lectures and 32h tutorials)   on analysis tools (Taylor series, convergence of series / integrals, differential equations, function with several variables, curvilinear and multiple integrals) with application to  usual differential operators of linear optics.

Organisation

Modalités d'organisation et de suivi


1/Développements limités (DL) et Développements asymptotiques (DA)
        connaître les DL des fonctions usuelles et savoir les combiner : fractions rationnelles, exponentielle/logarithme , fonction trigonométriques/hyperboliques
        appliquer la formule de Taylor pour des fonctions usuelles aussi bien en x=0 qu'en d'autres points, utiliser un DL en x=0 pour obtenir un DA de f(1/x) quand x tend vers l'infini
        faire l'étude locale d'une fonction à partir de son DL (limite, tangente, position du graphe )
        prolongement possible : obtenir le DL de la solution d'une équation non-linéaire (amorçage/pompage)
2/intégrales impropres
        discuter la divergence/convergence absolue d'intégrales impropres sur un intervalle fini ou infini
        se ramener au critère de Riemann en un point ou à l'infini
        calculer la valeur exacte d'une intégrale impropre par différentes méthodes : intégration par parties, changement de variable, développement en éléments simples
        étudier le domaine de définition d'une fonction définie par une intégrale impropre dépendant d'un paramètre
        prolongement : étude d'intégrales impropre semi-convergente (sinus cardinal)
3/  séries
        discuter la divergence/convergence absolue d'une série par différentes méthodes : critère de Riemann à l'infini, critère de D'Alembert, comparaison série/intégrale
        étudier la semi-convergence par différentes méthodes : critère des séries alternées, DL, regroupement de termes
        manipuler des développements en séries entières (DSE) : calcul du rayon de convergence, combinaison de DSE, application au calcul de la valeur de séries
4/ équations différentielles linéaires
        connaître le vocabulaire des équations différentielles : équations linéaires/non-linéaires, coefficients constants, équation homogène, ordre d'une équation
        résoudre des équations différentielles linéaires d'ordre 1 : recherche des solutions homogènes, recherche d'une solution particulière ( utilisation de ma méthode de variation de la constante)
        résoudre des équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre n>1 : équation caractéristique, recherche des solutions homogènes, recherche d'une solution particulière ( dans le cas d'un second membre de type polynôme*exponentielle )
        prolongement possibles : raccordement de solutions, DSE des solutions d'une équation différentielle (fonction de Bessel)
5/ courbes paramétrées fonctions à plusieurs variables
        étudier des courbes planes ou dans l'espace, calcul de vecteurs tangent et normal en un point (utilisation de DL)
        manipuler les notions de graphe, continuité au moins pour des fonctions à 2 variables f(x,y)
        calculer les dérivées partielles et la différentielle (notion de matrice Jacobienne), calculer le plan tangent ou la normale au graphe en un point, développement de Taylor (notion de matrice Hessienne), composition des différentielles
        connaître la notion de changement de variable, étude des principaux exemples : polaire, cylindrique, sphérique
        prolongements possibles : étude des extrema de fonctions à 2 variables, étude des surfaces paramétrées, étude des opérateurs différentiels usuels ( gradient, divergence, rotationnel, Laplacien), résolution d'équation aux dérivées partielles (par changement de variables)
6/  intégrales multiples et intégrales curvilignes
        justifier l'existence d'une intégrale double ou triple et la calculer (théorème de Fubini-Tonelli)
        faire des changements de variable linéaire, polaire, cylindrique, sphérique
        comprendre les notions d'intégrale le long d'un chemin, d'intégrale sur une surface, et les liens avec la circulation et le flux d'un champ de vecteurs
        appliquer les formules de Green-Riemann et Ostrogradski , calculer des volumes et surfaces de domaines simples en dimension 3
        prolongements possibles : théorie des formes différentielles


1 / Taylor series (TS) and Asymptotic expansions (AD)
        know the TS of the usual functions and how to combine them: rational fractions, exponential / logarithm, trigonometric / hyperbolic functions
        apply Taylor's formula for usual functions both at x = 0 and at other points, use a TS at x = 0 to get a AD of f (1 / x) when x tends to infinity
        carry out the local study of a function from its TS (limit, tangent, position of the graph)
        possible extension: obtain the TS of the solution of a nonlinear equation
2 / improper integrals
        discuss the absolute divergence / convergence of improper integrals over a finite or infinite interval
        reduce to the Riemann criterion at a point or at infinity
        compute the exact value of an improper integral by different methods: integration by parts, change of variable, expansion in simple elements
        study the domain of definition of a function defined by an improper integral depending on a parameter
        prolongation: study of improper integrals semi-convergent (sin(x)/x)
3 / sets
        discuss the absolute divergence / convergence of a series by different methods: Riemann criterion at infinity, D'Alembert criterion, series / integral comparison
        study semi-convergence by different methods: criterion of alternating series, TS, grouping of terms
        handle power series:  convergence radius, combination, application to compute the value of numerical series

4 / linear differential equations
        know the vocabulary of differential equations: linear / non-linear equations, constant coefficients, homogeneous equation, order of an equation
        solve linear differential equations of order 1: search for homogeneous solutions, search for a particular solution (use of my method of varying the constant)
        solve linear differential equations with constant coefficients of order n> 1: characteristic equation, search for homogeneous solutions, search for a particular solution (in the case of a second member of the exponential polynomial * type)
        possible extensions: connection of solutions, power series of solutions of a differential equation (Bessel function)

5 / parametric equations and functions with several variables
        study plane or space curves, calculation of tangent and normal vectors at a point (use of DL)
        handle the notions of graph, continuity at least for functions with 2 variables f (x, y)
        compute the partial derivatives and the differential (notion of Jacobian matrix), calculate the tangent plane or the normal to the graph at a point, Taylor development (notion of Hessian matrix), composition of the differentials
        know the concept of change of variable, study the main examples: polar, cylindrical, spherical
        possible extensions: study of the extrema of functions with 2 variables, study of parametric surfaces, study of the usual differential operators (gradient, divergence, rotational, Laplacian), resolution of partial differential equation (by change of variables)

6 / multiple integrals and curvilinear integrals
        justify the existence of a double or triple integral and compute it (Fubini-Tonelli theorem)
        make linear, polar, cylindrical, spherical variable changes
        understand the concepts of integral along a path, integral over a surface, and the links with the circulation and flow of a vector field
        apply Green-Riemann and Ostrogradski formulas, compute volumes and surfaces of simple domains in dimension 3
        possible extensions: theory of differential forms

 

 

Informations pédagogiques

Compétences à acquérir

Comprendre le formalisme mathématique des équations de Maxwell (circulation, flux, divergence, rotationnel, gradien ...) en lien avec l'optique linéaire.

Understand the mathematical formalism of Maxwell's equations (circulation, flow, divergence, rotational, gradian ...) in connection with linear optics.

Pré-requis recommandés

  • cours d'algèbre linéaire T5CC021M

Bibliographie, lectures recommandées

  • Stéphane Balac, Frédéric Sturm, Exercices d’algèbre et d’analyse : 154 exercices corrigés de première année
  • Stéphane Balac, Laurent Chupin, Analyse et algèbre : cours de mathématiques de deuxième année avec exercices corrigés et illustrations avec Maple
Dernière modification : mer, 06/01/2021 - 10:32