Équations fonctionnelles pour la Physique [T7PS421M]

Équations fonctionnelles pour la Physique [T7PS421M]

En pratique

Nature
Elément constitutif
Volume horaire de TP
6
Volume horaire de TD
24
Volume horaire de CM
30
Langue d'enseignement
Français

Description du contenu de l'enseignement

  • Equations différentielles
    • Equations différentielles linéaires et non linéaires, théorème de Cauchy-Liptchitz, solutions maximales
    • Equations autonomes, champs de vecteurs, recherche d'intégrales premières
    • Recherche des points d'équilibre, stabilité au sens de Lyapunov, classification des points d'équilibre dans le cas de la dimension 2
  • Généralités sur les EDP
    • Exemples d'EDP, problème de Cauchy d'évolution, problème de Cauchy avec données sur une hypersurface, théorème de Cauchy-Kovaleskaya, classification des EDP
    • Méthode des caractéristiques (résolution des EDP quasi-linéaires d'ordre 1)
  • Problèmes de Sturm-Liouville
    • Rudiments de théorie spectrale : opérateurs auto-adjoints  sur L2, notion de valeurs/vecteurs propres généralisés
    • Opérateurs différentiels d'ordre 2, étude du problème de Sturm-Liouville régulier, exemples de problèmes de Sturm-Liouville singuliers (équation de Bessel, de Legendre, d'Hermite...)
  • EDP d'ordre 2
    • Problèmes de Cauchy d'évolution : étude par transformation de Fourier des équations des ondes, de la chaleur, de Schrödinger
    • Problèmes mixtes (condition initiale et conditions aux bords) : méthode de séparation des variables ramenant à des problèmes de Sturm-Liouville, développement de la solution suivant une base de fonctions propres :  équation de la chaleur avec condition frontière, des cordes vibrantes, des membranes vibrantes, guide d'onde (les fonctions propres correspondant aux modes de propagation), oscillateur harmonique quantique
  • Equation de Laplace
    • Fonctions harmoniques en dimension 2, lien avec les fonctions holomorphes, problème de Dirichlet pour le disque
    • Fonctions harmoniques en dimension 3, harmoniques sphériques, problème de Dirichlet pour la boule, fonctions d'onde pour l'atome d'hydrogène et application au problème de Cauchy
  • Solutions fondamentales et fonctions de Green
    • Cas d'une seule variable : solution fondamentale causale d'un opérateur linéaire à coefficients constants et application à la résolution de l'équation avec second membre continu sur R+, solution fondamentale tempérée
    • Construction des solutions fondamentales et des fonctions de Green des opérateurs d'évolution, utilisation de la transformation de Fourier (cas d'une fonction de Green tempérée)
    • Résolution de problèmes de Cauchy d'évolution homogènes et non-homogènes à l'aide de la fonction de Green, expression des solutions sous forme de convolution
    • Cas des équations de la chaleur, des ondes, de Schrödinger
    • Prolongement possible : fonctions de Green des opérateurs elliptiques et application au problèmes de Dirichlet et de Neumann
  • Résolution numérique des EDP
    • Méthode des différences finies, schémas explicite  et implicite, sur  2hCM et 3x2h TP
    • Application  aux équations de transport 1D, équation de Schrödinger non linéaire (propagation d'impulsions laser dans une fibre optique),
    • Prolongements possibles : schéma de Crank-Nicholson, Schéma de Lax-Friedrichs,  équation de Burgers, équation de Schrödinger non-linéaire

 

Informations pédagogiques

Compétences à acquérir

Etude et résolution de problèmes concernant les principales équations de la physique, rencontrées dans les différents cours d'optique et de physique atomique.

Pré-requis recommandés

  • Bases d'algèbre linéaire et d'analyse  [[T5PT501U]] ,
  • d'analyse de Fourier et Méthodes numériques pour l'optique : [[T6PS321M]]

Bibliographie, lectures recommandées

Pour réviser les bases en analyse de Fourier, transformation de Fourier, distributions, développement en série de fonctions orthogonales : ANALYSE de FOURIER - Théorie et applications pour le phycicien et l'ingénieur - Cours et exercices corrigés - Patrice Struillou (Ellipse)

Dernière modification : mar, 05/01/2021 - 13:22