Fonctions analytiques [T6ES321M]

Fonctions analytiques [T6ES321M]

En pratique

Nature
Elément constitutif
Volume horaire de TD
26
Volume horaire de CM
18
Volume horaire de travail personnel
34
Langue d'enseignement
Français

Description du contenu de l'enseignement

  • Topologie de R^n, limites, continuité
  • Dérivées partielles, Différentiabilité, DL d'ordre 1, différentielle, plan tangent à une surface, fonctions de classe C^1, gradient, matrice jacobienne, difféomorphismes
  • Fonctions de classe C^2, DL d'ordre 2, matrice hessienne, application à la recherche d'extrema
  • R-différentiabilité et C-différentiabilité, fonctions holomorphes, conditions de Cauchy (différentes écritures)
  • Fonctions holomorphes usuelles : polynômes et fractions rationnelles, exp, cos, sin, cosh, sinh, tan, tanh, déterminations du logarithme complexe et des fonctions puissances (étude de leurs propriétés, leurs ensembles de définition, de continuité, d'holomorphie et calcul de leurs dérivées)
  • Fonctions analytiques, analytique implique holomorphe, développement en série de Taylor (DST), théorème des zéros isolés et principe du prolongement analytique, DST en 0 usuels
  • Intégrale curviligne d'une fonction continue sur un chemin de C, paramétrage de chemins usuels, longueur d'une courbe
  • Homotopie dans un ouvert de C de lacets, de chemins ayant mêmes extrémités, simple connexité, théorème de Cauchy (différentes versions)
  • Formule de Cauchy, holomorphe implique analytique, primitives de fonctions holomorphes
  • Inégalités de Cauchy, formule de la moyenne, théorème de Liouville, théorème de D'Alembert-Gauss
  • Développement en série de Laurent (DSL), forme intégrale des coefficients, lien avec certains développements en série de Fourier
  • Classification des points singuliers isolés (pôles et points singuliers essentiels), résidus, calcul pratique de résidus
  • Application du DSL à la transformation en z (TZ) et à son inversion dans une couronne centrée en 0
  • Théorème des résidus, application à l'inversion de la transformation en z, lemmes de Jordan, application à certains calculs d'intégrales (notamment la TF d'une fraction rationnelle de L^1(R) = fonction de transfert d'un filtre analogique stable au sens BIBO)
  • Synthèse sur les mathématiques du signal de première année : utilisation des distributions, théorie de l'échantillonnage, TF, TFTD, TFD, DSF, théorème de Shannon-Nyquist, transformée de Laplace, TZ.
  • Mini-projet : Implémentation en Python de l'algorithme TFR et du calcul approché de spectres, analyse spectrale, implémentation du calcul de résidus et de l'inversion de la TZ (en utilisant les possibilités de calcul formel de SAGE)
  • S'il reste du temps : utilisation de la TZ pour la résolution de certaines équations récurrentes, convolution discrète, filtres discrets, stabilité
  • S''il reste du temps : étude approfondie de la transformation de Laplace (bilatérale et de  fonctions causales), formule d'inversion de Bromwich, inversion des transformées de Laplace dans une bande verticale par la méthode des résidus
  • Prolongements possibles : fonctions Gamma et Zeta dans le domaine complexe pour illustrer le prolongement analytique, produits infinis, principe de l'argument, théorème de Rouché...

 

Organisation

Modalités d'organisation et de suivi

  • Calcul différentiel dans R^n et applications,
  • fonctions analytiques,
  • intégration des fonctions holomorphes et applications,
  • développements en série de Laurent et tranformation en z,
  • transformation de Laplace.

Informations pédagogiques

Compétences à acquérir

  • Calcul différentiel avec en vue des applications à l'optimisation
  • Fonctions de la variable complexe et applications au traitement du signal

Pré-requis recommandés

  • Représentation matricielle d'une application linéaire, calcul de déterminants
  • Calcul élémentaire dans C
  • Analyse de premier cycle (ou du premier semestre Enssat pour les TS) : intégration, séries, séries entières, DSE

Bibliographie, lectures recommandées

  • Analyse de Fourier : Théorie et applications pour l'ingénieur et le physicien - Cours et exercices corrigés Broché – 19 juin 2012 de P. Struillou (Ellipses - ISBN-13: 978-2729872540)
  • Théorie élémentaires des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes - de H. Cartan (Hermann)
  • Fonctions analytiques - de N. Boccara (Ellipses)
Dernière modification : mar, 05/01/2021 - 13:30