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Algèbre linéaire et bilinéaire

Algèbre linéaire et bilinéaire

En pratique :

Volume horaire de cours : 36
Volume horaire global de TD : 36
Volume horaire global de TP : 6
Langue principale : français
Nombre de crédits européens : 6

Description du contenu de l'enseignement

1. Réduction des endomorphismes. Théorème de Cayley-Hamilton, diagonalisation, triangulation,polynôme annulateur, décomposition de Dunford-Jordan.
2. Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques, dualité. Rang d'une telle forme, forme non dégénérée. Matrice d'une forme, formule de changement de base, matrices congruentes, orthogonal d'une partie, formule sur la dimension de l'orthogonal. Un espace et son orthogonal, existence d'une base orthogonale.
3. Classification des formes quadratiques sur R, signature. Décomposition d'une forme quadratique en sommes et différences de carrés (algorithme de Gauss).
4. Espaces euclidiens : inégalité de 0Cauchy-Schwartz. Procédé d'orthonormalisation. Endomorphisme adjoint.Diagonalisation des endomorphismes symétriques. Réduction des endomorphismes orthogonaux.
5. Espaces hermitiens : endomorphisme adjoint, endomorphisme hermitien. Diagonalisation des endomorphismes normaux dans une base orthonormale.
6. Caractérisation min-max de Courant-Fischer. Normes matricielles, rayon spectral. Approximation spectrale, cercles de Gershgorin, théorèmes de perturbation, suites de Sturm, méthodes de puissance, QR et Jacobi, sous-espaces de Krylov.
 


Modalités pédagogiques

  • en présence