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Anneaux et arithmétique

Anneaux et arithmétique

En pratique :

Volume horaire de cours : 24
Volume horaire global de TD : 24
Langue principale : français
Nombre de crédits européens : 6

Description du contenu de l'enseignement

1. Premières définitions : anneau, morphisme d'anneaux, noyau, image, idéaux, quotient, théorème de factorisation, éléments irréductibles, groupe des éléments inversibles.
2. Exemples d'anneaux et d'idéaux : Z, Z/nZ, A[X], corps, anneaux de fonctions continues, séries formelles.Notion d'algèbre (définition, morphisme). Etude des algèbres k[X]=(P) et des algèbres Z/nZ (endomorphismes de ces algèbres, résolution d'équations dans ces algèbres). Corps finis et applications en cryptographie (codes cycliques, protocoles El Gamal, Die-Helmann).
3. Anneau intègre, corps, diviseur de zéro, idéal premier, idéal maximal (résultat admis : tout idéal strict est contenu dans un idéal maximal). Théorème des restes chinois général.
4. Localisation (propriété universelle et existence). Exemple: corps des fractions d'un anneau intègre.
5. Anneaux euclidiens. Algorithme d'Euclide étendu. (exemples fondamentaux : Z et k[X], les entiers de Gauss, théorème des deux carrés).
6. Anneaux principaux. PGCD et PPCM dans un anneau principal, traduction en termes d'idéaux. Exemples d'anneaux non principaux.
7. Anneaux factoriels (éléments irréductibles, définition, propriétés d'hérédité). Exemples d'anneaux non factoriels. Retour sur les anneaux de polynômes et polynômes irréductibles (critères d'irréductibilité).
 


Modalités pédagogiques

  • en présence