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Mathématique du signal

Mathématique du signal

En pratique :

Volume horaire de cours : 18
Volume horaire global de TD : 24
Langue principale : français

Compétences à acquérir

Apprendre à utiliser les principaux outils mathématiques pour le traitement du signal, puis étendre ces techniques à des signaux plus généraux représentés par des distributions


Modalités d’organisation et de suivi

  • Intégrale de Lebesgue
      reconnaître une fonction intégrable au sens de Lebesgue, différence avec une intégrale impropre convergente au sens de Riemann
  • appliquer les théorème de convergence dominée et de convergence monotone
  • appliquer les théorèmes de continuité et dérivation sous le signe "somme"
  • convolution
      appliquer des critères d'existence d'une convolution (stabilité L1, BIBO, fonctions causales localement intégrables)
  • calcul explicitement des convolutions de fonctions simples, en utilisant les propriétés de commutativité/associativité, et la dérivation
  • comprendre les application concrètes des effets régularisant de la convolution : filtrage de signaux pour l'élimination du bruit, la détection des contours (traitement d'images)
  • Transformation de Fourier (TF)
      faire des calculs de transformées de Fourier dans L1, appliquer les formules de modulation/translation, dérivation/produit, changement d'échelle, TF d'une convolution
  • utiliser la transformation de Fourier dans L2 , appliquer la formule de Plancherel, la formule d'inversion,
  • prolongement possibles : recalage de signaux par corrélation croisée, reconstruction d'images par filtrage de Wiener, déconvolution par l'algorithme de Richardson-Lucy,
  • Séries de Fourier
      Appliquer le théorème de Dirichlet pour des séries de Fourier de fonctions C1 par morceaux
  • Appliquer les formules de Plancherel/Parseval pour des fonctions L2
  • prolongements possibles : compression de signaux (JPEG), formule de Shannon
  • espace des distributions D'(R)
      comprendre la définition d'une distribution : principe de dualité, fonction test , linéarité, continuité, distributions régulières et non-régulières
  • étendre les les outils des fonctions au distribution : domaine, parité, multiplication, translation, changement d'échelle
  • dériver des distributions, appliquer la formule des sauts
  • exemples importants : distribution de Dirac, peigne de Dirac, VP1/x
  • Transformation de Fourier des distributions tempérées
      espace de Schwartz et son dual S'(R)
  • Calculs de TF usuelles : Dirac, VP1/x, fonction de Heaviside, peigne de Dirac
  • prolongements possibles : théorème de Payley-Wiener, formule de Shannon, convolution des distributions , Transformation de Hilbert

Bibliographie, lectures recommandées

Analyse de Fourier : Théorie et applications pour l'ingénieur et le physicien - Cours et exercices corrigés Broché – 19 juin 2012 de Patrice Struillou (ISBN-13: 978-2729872540)


Pré-requis

Pré-requis obligatoires

Les bases d'algèbre linéaire et d'analyse (voir module Mathématiques)