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Résolution numérique de problèmes aux dérivées partielles en physique

Résolution numérique de problèmes aux dérivées partielles en physique

En pratique :

Volume horaire de cours : 24
Volume horaire global de TD : 24
Volume horaire global de TP : 24
Langue principale : français
Nombre de crédits européens : 6

Description du contenu de l'enseignement

Les différents savoirs introduits dans ce cours le seront après avoir motivé leur nécessité en s’appuyant sur des applications variées en physique.
- Introduction aux outils mathématiques permettant l’étude mathématique d’un problème aux limites : principe du maximum, distributions, espaces de Sobolev. Notion de formulation variationnelle, théorème de Lax-Milgram. Ces notions sont dans un premier temps introduites dans le cas de la dimension 1 d’espace et illustrées par l’étude d’un problème aux limites modèle unidimensionnel puis généralisées ultérieurement à la dimension supérieure.
- Étude d’un problème aux limites elliptique modèle bidimensionnel (équation de Laplace dans un ouvert borné avec conditions aux limites mêlées de Dirichlet et Neumann). Résultats d’existence et d’unicité de la solution. Recherche de la solution par la méthode de séparation de variables. Approximation par schémas aux différences finies (explicites et implicites). Approximation par la méthode de Galerkin. Approximation par la méthode des éléments finis.
- Étude d’un problème parabolique modèle (équation de la chaleur non stationnaire en une dimension d’espace). Résultats d’existence et d’unicité de la solution. Recherche de la solution par décomposition en série de Fourier. Approximation par schémas aux différences finies (explicites et implicites, schéma de Crank-Nicholson). Notions de consistance et de stabilité d’un schéma aux différences finies. Notion de convergence pour un schéma.
- Étude d’un problème hyperbolique modèle (l’équation d’advection en une dimension d’espace). Résultats d’existence et d’unicité de la solution, la méthode des caractéristiques. Approximation par schémas aux différences finies : schéma Upwind et schéma de Lax-Wendroff. Analyse de la stabilité du schéma par la méthode de Fourier - Von Neumann. Notion de condition CFL. Mise en évidence du phénomène de diffusion numérique.
Les méthodes numériques étudiées dans le cadre de ce cours seront mises en œuvre dans le cadre de travaux pratiques sur machine et seront exploitées pour la simulation numérique de phénomènes physiques.
 


Compétences à acquérir

Mener à bien l’analyse mathématique de problèmes aux dérivées partielles dans l’objectif de les résoudre numériquement.
Connaître des schémas numériques permettant le calcul d’une solution approchée à un problème aux dérivées partielles et savoir s’assurer de la consistance, de la stabilité et de la convergence du schéma numérique pour le problème considéré.
Mettre en œuvre informatiquement une approche numérique permettant la résolution d’un problème aux limites et être en mesure d’interpréter correctement les résultats numériques obtenus.
 


Modalités pédagogiques

  • en présence