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Théorie des groupes

Théorie des groupes

En pratique :

Volume horaire de cours : 24
Volume horaire global de TD : 24
Langue principale : français
Nombre de crédits européens : 6

Description du contenu de l'enseignement

1. Groupes, sous-groupes, théorème de Lagrange, ordre d'un élément. Exemple du groupe diédral.
2. Homomorphismes et isomorphismes de groupes ; propriété universelle du groupe (Z;+).
3. Sous-groupes distingués, groupes quotients, propriété universelle du quotient. Exemples(Z/nZ). Correspondance entre sous-groupes d'un groupe et d'un de ses quotients.
4. Produits de groupes : groupe produit de sous-groupes. Produits semi-directs.
5. Groupes cycliques : générateurs, sous-groupes, groupe multiplicatif d'un corps fini.
6. Groupe symétrique. Conjugué dune permutation, décomposition en cycles disjoints, signature. Groupe alterné.
7. Actions de groupe : orbites, stabilisateurs, formule des classes, formule de Burnside, exemples (groupe agissant sur lui-même ou sur ses parties par translation, par conjugaison), applications (sous-groupe d'indice p minimal, théorème de Burnisde, sous-groupes finis de SO(3;R), nombre d'orbites).
8. Théorèmes de Cauchy et de Sylow. Applications : classification des groupes d'ordre 12, 30, etc. Groupes définis par générateurs et relations.
9. Groupes abéliens de type fini.
 


Modalités pédagogiques

  • en présence

Pré-requis

Pré-requis obligatoires

Vocabulaire de la théorie des ensembles.