En pratique :

Volume horaire de cours : 36
Volume horaire global de TD : 36
Langue principale : français
Nombre de crédits européens : 6

Description du contenu de l'enseignement

On se restreindra aux cas réels ou complexes. Le spectre est toujours considéré au sens complexe. On pourra ne traiter que la version symétrique réelle des cas hermitiens.

Dualité

  • Matrice adjointe et produit scalaire canonique :
      Noyau et image de l'adjoint. Matrices hermitiennes, anti-hermitiennes, unitaires. Matrices des projections orthogonales et des isométries usuelles.
  • Bases duales :
      Dont procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt. Factorisation QR.
  • Diagonalisation et trigonalisation :
      Interprétation de la diagonalisation en termes de projecteurs. Lien avec les éléments propres de la matrice adjointe. Polynômes annulateurs, polynôme minimal. Théorème de Cayley-Hamilton. Décomposition de Jordan. Diagonalisation des matrices normales. Cas hermitien et unitaire. Décomposition en valeurs singulières. Racine carrée des matrices hermitiennes positives, décomposition polaire.
  • Normes

    • Normes matricielles subordonnées des applications linéaires :
        Cas l^1, l^2, l^infini. Différentielle d'une application linéaire.
  • Exponentielle d'une matrice :
      Cas des blocs de Jordan.
  • Normes matricielles subordonnées des applications bilinéaires :
      Différentielle, gradient et Hessienne des formes bilinéaires.
  • Résolution de systèmes

    • Conditionnement :
        Erreurs relatives. Régularité des solutions par rapport aux perturbations sur les matrices et sur les seconds membres.
  • Inverse :
      Co-matrice. Séries de Neumann. Caractère ouvert de l'ensemble des matrices inversibles et régularité de l'application inverse.
  • Algorithme de Gauss :
      Matrices des opérations élémentaires. Décomposition LU et PLU. Calcul d'inverses par l'algorithme de Gauss.
  • Systèmes surdéterminés :
      Problèmes de moindres carrés associés à la résolution de systèmes surdéterminés. Équation normale. Liens avec la factorisation QR et la décomposition en valeurs singulières. Application à la régression polynomiale (moyenne, régression linéaire).
  • Eléments propres

    • Valeurs propres et vecteurs propres :
        Multiplicités, valeurs propres semi-simples. Continuité des valeurs propres par rapport aux perturbations sur les matrices (ADMIS). Régularité des valeurs propres simples. Caractère Lipschitz du spectre dans le cas diagonalisable.
  • Rayon spectral :
      Lemme sous-additif. Liens avec les normes subordonnées.
  • Puissances d'une matrice carrée :
      Comportement à l'infini des itérés d'une matrice. Application à l'étude des suites récurrentes affinées.
  • exp( t A ) :
      Comportement de exp(tA) lorsque t tend vers l'infini. Application à l'étude des équations différentielles affinées.
  • Formes quadratiques hermitiennes :
      Lien entre formes quadratiques hermitiennes et matrices hermitiennes. Changement de base. Signature. Principe du min-max de Courant-Ficher. Caractérisation des valeurs singulières.
  • Matrices à coefficients positifs :
      Théorème de Perron-Frobenius. Cas des matrices stochastiques.
  •  


    Modalités pédagogiques

    • en présence